طول كمان، مساحت و تابع Arcsine

-مجله رياضيات ، مارس 1983، جلد 56، شماره 2 صفحات 110-106
-توصيف هندسي مقاله ها جبري يك محرك اصلي براي حساب ديفرانسيل وانتگرال مقدماتي ايجادمي كند.
عناوين حساب ديفرانسيل وانتگرال بوسيله هندسه تحليلي در بسياري از متن هاي مقدمه وابستگي به شروع هاي عكس دار در گسترش انتگرال معين و مشقق اشاره مي كند.
در حالي كه فاكتورهاي هندسي ، بسياري از نمادهاي توابع مثلثاتي ومشتق هاي آنها را كنترل كننده يك راه حل تقريبا جامع براي روشهاي جبري را معرفي و مطالعه توابع مثلثاتي معكوس وجود دارد اين نتكه نشان مي دهد چطور مفاهيم جبري در تعاريف انتگرال معين، مثلثاتي ومشتق هاي آنها در بحث تطابق توابع معكوس ممكن است ادامه پيدا كند. مرجع در رابطه با اين مفاهيم جبري نسبت به توسعه نظريه بيضي و روش الوار(Eluer) در كشف قضيه هاي ضميمه جبري را سينوسهاي دايره اي هدلولي و lemniscare ايجاد خواهد شد.
حساب ديفرانسيل وانتگرال نمونه در مقابل arcsine بعنوان طول كمان با در نظر گرفتن ]1[ و ] 3[ بعنوان نمونه هايمان، يادآوري مي كنيم كه در كتاب جديد درسي استاندارد، بعد از آنكه انتگرال معين تعريف شده است . كاربردهايي شامل مساحت بين دو منحني وفرمول طول كمان مي شود از آنجائيكه تكنيك هاي انتگرال گيري كمي در دسترس مي باشد. مشكلات طول كمان به كمان هاي باريك y=f(x) تا حدي كه انتگرال بطور خاصي ساده باشد وگاهگاهي توجيه يك نويسنده براي نبود كاربردهاي مناسب پيشنهادي شود.(ببنيد ]3[ صفحه 429)
بعد از مقوله توابع مثلثاتي مروري از اندازه گيري راديان بطوريكه طول كمان از نقطه (0و1) روي دايره واحد اندازه گيري مي شود. Cosine , sine يك عدد حقيقي بعنوان مختصات sineو cos يك عدد حقيقي بعنوان مختصات نقطه (x,y) روي دايره واحد راديان هاي از (0و1) (شكل 1 را ببنيد) سپس خصوصيات sine و cos از تشابهات دايره و ديگر توابع مثلثاتي كه در اصطلاح هاي cosin ,sine تعريف مي شود ناشي مي شود. مشتق هاي cosine ,sine بعنوان نتايج 1(sin )/ = ايجادمي شود. اين حد از طريق برابر گرفتن طول كمان در امتداد لبه دايره واحد با مساحت بخشي كه بوسيله كمان ( در شكل 2و 2= مساحت Aos) وسپس قراردادن اين مساحت مابين دو ناحيه مثلث شكل برقرار مي گردد.
بعد از مطالعه حساب ديفرانسيل وانتگرال توابع مثلثاتي (f(x)) مطابق توابع معكوس ( از طريق معكوس گرافهاي كه مي شود